Звезда Ходжа

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

[math]\displaystyle{ *\colon \Lambda^q(T^*M) \to \Lambda^{n-q}(T^*M) }[/math]

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

[math]\displaystyle{ \Omega=f(X)dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Omega_{M_1\ldots M_n}=f(X)\varepsilon_{M_1\ldots M_n} }[/math]

где [math]\displaystyle{ f(X):M\to \mathbb{R} }[/math] — неотрицательный скаляр на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math], а [math]\displaystyle{ \varepsilon_{M_1\ldots M_n} }[/math] — полностью антисимметричный символ. [math]\displaystyle{ \varepsilon_{0\ldots n-1}=+1 }[/math]. Даже в отсутствие метрики, если [math]\displaystyle{ f(X)\gt 0 }[/math], можно определить контравариантные компоненты формы объёма.

[math]\displaystyle{ \check{\Omega}=\frac{1}{f(X)}\frac{\partial}{\partial{X^0}}\wedge\cdots\wedge\frac{\partial}{\partial{}{X^{n-1}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \check{\Omega}^{M_1\ldots M_n}=f^{-1}(X)\varepsilon^{M_1\ldots M_n} }[/math]

здесь антисимметричный символ [math]\displaystyle{ \varepsilon^{M_1\ldots M_n} }[/math] совпадает [math]\displaystyle{ \varepsilon_{M_1\ldots M_n} }[/math].

В присутствии метрики [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] с поднятыми индексами может отличаться от [math]\displaystyle{ \check{\Omega} }[/math] на знак: [math]\displaystyle{ \Omega=\sigma\check{\Omega} }[/math]. Здесь и далее [math]\displaystyle{ \sigma=\sgn\det(g_{mk}) }[/math]

Введём операцию антисимметризации:

[math]\displaystyle{ A_{[m_1\ldots m_q]}=\frac{1}{q!}\sum_{\sigma(m_1\ldots m_q)}(-1)^{\sgn(m_1\ldots m_q)}A_{\sigma(m_1\ldots m_q)} }[/math]. Суммирование ведётся по всем перестановкам [math]\displaystyle{ \sigma(m_1\ldots m_q) }[/math] индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности [math]\displaystyle{ \sgn(\sigma) }[/math]. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: [math]\displaystyle{ A_{k[lm]}=\frac{1}{2!}(A_{klm}-A_{kml}) }[/math]; [math]\displaystyle{ A_k^{[l}B_p^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^l B_p^m - A_k^m B_p^l) }[/math].

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

[math]\displaystyle{ A^{A\ldots\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor B\ldots}{}_{C\ldots\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor D\ldots}=\frac{1}{k!}A^{A\ldots K_1\ldots K_k B\ldots}{}_{C\ldots K_1\ldots K_k D\ldots} }[/math].

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки [math]\displaystyle{ \lfloor\;\rfloor }[/math] только по упорядоченным наборам не деля на [math]\displaystyle{ k! }[/math], это связано с тем, что разные наборы индексов [math]\displaystyle{ K_1\ldots K_k }[/math], отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

[math]\displaystyle{ (A,B)^{(k)}_{M_{k+1}\ldots M_q}{}^{N_{k+1}\ldots N_p}=A_{\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor M_{k+1}\ldots M_q}B^{\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor N_{k+1}\ldots N_p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (A,B)^{\underline{(k)}}_{M_1\ldots M_{q-k}}{}^{N_1\ldots N_{p-k}}=A_{M_1\ldots M_{q-k}\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor}B^{N_1\ldots N_{p-k}\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor} }[/math]

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] и поливектор [math]\displaystyle{ \check{\Omega} }[/math], можно ввести операцию [math]\displaystyle{ * }[/math], превращающую поливектор [math]\displaystyle{ B }[/math] степени [math]\displaystyle{ p }[/math] в дифференциальную форму [math]\displaystyle{ *B }[/math] степени [math]\displaystyle{ n-p }[/math], и обратную операцию [math]\displaystyle{ *^{-1} }[/math], превращающую форму [math]\displaystyle{ A }[/math] степени [math]\displaystyle{ q }[/math] в поливектор [math]\displaystyle{ *^{-1}A }[/math] степени [math]\displaystyle{ n-q }[/math]

[math]\displaystyle{ *B=(\Omega,B)^{(p)} }[/math]
[math]\displaystyle{ *^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{\underline{(q)}} }[/math]

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ (*B)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{f(X)}{q!}B^{m_1\ldots m_q}\varepsilon_{m_1\ldots m_n} }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ *^{-1}*B=B }[/math] и [math]\displaystyle{ **^{-1}A=A }[/math], то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов [math]\displaystyle{ * }[/math] и [math]\displaystyle{ *^{-1} }[/math] введём пару операторов: [math]\displaystyle{ \check{*} }[/math] и [math]\displaystyle{ \check{*}^{-1} }[/math], отличающихся от них знаком.

[math]\displaystyle{ \check{*}B=(\Omega,B)^{\underline{(p)}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \check{*}^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{(q)} }[/math]

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика [math]\displaystyle{ g_{mk} }[/math]. Обозначим [math]\displaystyle{ g=\det(g_{mk}) }[/math].

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой [math]\displaystyle{ g_{mk} }[/math] называется форма [math]\displaystyle{ \Omega=\sqrt{|g|}dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}=\sqrt{|g|}d X^n }[/math] В компонентах:

[math]\displaystyle{ \Omega_{m_1\ldots m_n}=\sqrt{|g|}\varepsilon_{m_1\ldots m_n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Omega^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sqrt{|g|}}{g}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sgn(g)}{\sqrt{|g|}}\varepsilon^{m_1\ldots m_n} }[/math]

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

[math]\displaystyle{ A_{m_1\ldots m_n}=A^{l_1\ldots l_n}g_{m_1 l_1}\cdots g_{m_n l_n} }[/math]

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. [math]\displaystyle{ (*A)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{1}{q!}\Omega_{m_1\ldots m_n}A_{l_1\ldots l_q}g^{m_1 l_1}\cdots g^{m_q l_q} }[/math]

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

[math]\displaystyle{ \delta=*^{-1}d* }[/math]
[math]\displaystyle{ (\delta A)^{M_1\ldots M_{q-1}}=\frac{1}{f(X)}\partial_{M_q}(f(X)A^{M_1\ldots M_q}) }[/math]

В присутствие метрики оператор дивергенции [math]\displaystyle{ \delta }[/math] выражается через оператор ковариантной производной [math]\displaystyle{ \nabla }[/math], определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

[math]\displaystyle{ (\delta A)^{M_1\ldots M_{q-1}}=(\nabla,A)^{\underline{(1)}M_1\ldots M_{q-1}}=\nabla_{M_q}A^{M_1\ldots M_q}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{M_q}(\sqrt{|g|}A^{M_1\ldots M_q}) }[/math]

Иногда операцию [math]\displaystyle{ d }[/math] (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — дивергенцией. Для 1-формы операция [math]\displaystyle{ \delta }[/math] задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] от [math]\displaystyle{ q }[/math]-формы [math]\displaystyle{ A }[/math] определяется формулой:

[math]\displaystyle{ \Delta A=(-1)^q(\delta d + d\delta)A }[/math]

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

[math]\displaystyle{ \Delta\varphi=\nabla_M\nabla^M\varphi=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_M\sqrt{|g|}g^{MN}\partial_N\varphi }[/math]

Для скаляра [math]\displaystyle{ \Delta=\nabla_M\nabla^M }[/math]. Если [math]\displaystyle{ q\gt 0 }[/math], то по формуле Бохнера для произвольной метрики в [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае [math]\displaystyle{ q=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (\Delta A)_K=\nabla_M\nabla^M A_K - R_K{}^M A_M }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_K{}^M }[/math] — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Источники

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Звезда_Ходжа&oldid=13527646